Question

Cho hàm số \(y=x^4-5x^2+4\left(C\right)\). Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) cắt tại 2 điểm phân biệt khác M

Answer 1

Lấy \(M\left(m;m^4-5m^2+4\right)\in\left(C\right)\)

Suy ra phương trình (C) tại M : \(y=\left(4m^3-10m\right)\left(x-m\right)+m^4-5m^2+4\left(d\right)\)

Hoành độ của (d) và (C) là nghiệm của phương trình :

\(x^4-5x^2+4=\left(4m^3-10m\right)\left(x-m\right)+m^4-5m^2+4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2\left(x^2+2mx+3m^2-5\right)=0\left(1\right)\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow x^2+2mx+3m^2-5=0\) có 2 nghiệm phân biệt khác m :

                         \(\Leftrightarrow\begin{cases}5-2m^2>0\\6m^2-5\ne0\end{cases}\)

Vậy \(m\in\left(-\frac{\sqrt{10}}{2};\frac{\sqrt{10}}{2}\right)\)\ \(\left\{\pm\frac{\sqrt{30}}{6}\right\}\)