Question

Cho \(x;y;z>0\)

\(CMR:\) \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\le\frac{3}{4}\)

Answer 1

Có : (a-b)^2>=0

<=> a^2+b^2-2ab >=0

<=>a^2+b^2 >= 2ab

<=>a^2+b^2+2ab >= 4ab

<=> (a+b)^2 >= 4ab

Với a,b >0 thì chia cả 2 vế cho (a+b).ab thì :

a+b/ab >= 4/a+b

<=>4/a+b <= 1/a+1/b

<=> 1/a+b <= 1/4.(1/a+1/b)         ( với mọi a,b > 0 )

Áp dụng bđt trên cho x;y;z > 0 thì : x/2x+y+z = x. 1/(x+y)+(z+x) <= x/4 .( 1/x+y+1/x+z) = x/4.(x+y) + x/4.(x+z)

Tương tự : y/x+2y+z <= y/4.(y+x) + y/4.(y+z)

z/x+y+2z <= z/4.(z+x) + z/4.(z+y)

=> VT <= [ x/4.(x+y) + y/4.(y+x) ] + [ y/4.(y+z) + z/4.(z+y) ] + [ z/4.(z+x) + x/4.(x+z) ] = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z > 0 

k mk nha

Answer 2

áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) với mọi a,b >0 

Thì \(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\ge\frac{4x}{2x+y+z}\) 

Tương tự thì đpcm 

Cách này nhanh này thành đơ

Answer 3

hỏi chi hỏi lắm rứa