Dự đoán dấu bằng có khi (x,y,z)(x,y,z) là các hoán vị (0;1;1).
Từ đó ta đánh giá làm mất căn:
Ta có:
\(4\sqrt{2}.\sqrt{\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}}=\frac{8\left(xy+yz+zx\right)}{\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).2\left(xy+yz+zx\right)}}\)\(\ge\frac{16\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Do đó ta chỉ cần có
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{16\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\ge6\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\) suy ra \(x\ge y>0,z\ge0\)
Khi đó, ta chứng minh BĐT mạnh hơn
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{16\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}-\frac{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\left(x+y+2z\right)\ge8\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Hay \(\left(x+y+z\right)^4+z\left(x+y+z\right)^3\ge8z^2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Theo AM-GM:\(\left(x+y+z\right)^4=\left(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right)^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Vậy ta chỉ cần chứng minh \(z\left(x+y+z\right)^3\ge8z^2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(BDT\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge8z\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Ta có:\(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3x\left(y^2+z^2\right)+3y\left(z^2+x^2\right)+3z\left(x^2+y^2\right)+6xyz\ge x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+5xyz+8z^3+3z\left(x^2+y^2\right)\)
Suy ra \(\left(x+y+z\right)^3-8z\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+5xyz-5z\left(x^2+y^2\right)\)
\(=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+5z\left(xy-x^2-y^2\right)\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+5y\left(xy-x^2-y^2\right)\)
\(\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2-5y\left(x^2+y^2\right)\)
\(=\left(x^2-y^2+4\right)\left(x-y\right)\ge0\)
BĐT được chứng minh.
nhìn đề bik sai luôn -------- x,y > hoặc =0 thì khi x=y=0 :D thì sao ku
![[t=327]Đi ngủ thoai[/t]](http://emo.me.zdn.vn/sticker/dragon/big_25.gif "Đi ngủ thoai")
Nguyễn Huy Thắng thèn Triều nó bảo bài này sai đề kìa