Vì x+y=a+b nên (x+y)^2=(a+b)^2
x^2+2xy+y^2=a^2+2ab+b^2(1)
Ta có: x^2+y^2=a^2+b^2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2xy=2ab nên xy=ab
Lại có: x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
Do: x+y=a+b
x^2+y^2=a^2+b^2
xy=ab
Nên: x^3+y^3=a^3+b^3
Ta có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(1\right)\)
\(x+y=a+b\Rightarrow\left(x+y\right)^2=\left(a+b\right)^2\Rightarrow x^2+2xy+y^2=a^2+2ab+b^2\)
Do \(x^2+y^2=a^2+b^2\Rightarrow2xy=2ab\Rightarrow xy=ab\)
Thay \(x+y=a+b;x^2+y^2=a^2+b^2;xy=ab\) vào (1),ta được:
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)=\left(a+b\right).\left(a^2+b^2-ab\right)=a^3+b^3\) (đpcm)
Với dạng bài này ta còn có thể mở rộng ra nữa : \(x^n+y^n=a^n+b^n\)với n thuộc tập số tự nhiên . ^^
