Question

Cho x,y>0 và x+y=2. CMR:

\(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le2\)

Answer 1

Áp dụng côsi cho 3 số ta có 

\(2xy+2xy+\left(x^2+y^2\right)\ge3\sqrt[3]{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)}\) 

=> \(4+2xy\ge3\sqrt[3]{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)}\)

Mà \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=2\)

=> \(3\sqrt[3]{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)}\le6\)

=> \(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le2\)( Điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=1

Answer 2

Cách khác nè

\(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}xy.\left(x^2+y^2\right)2xy\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}.\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=\frac{1}{2}.\frac{4}{4}.\frac{16}{4}=2\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=2\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\) 

:))