Question

Cho x,y>0 thỏa mãn x+y\(\le\)2. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+\(\dfrac{2}{x}\)+\(\dfrac{2}{y}\)

Answer 1

- Áp dụng bất đẳng thức Caushy cho các số dương:

\(A=x+y+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}\)

\(=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}+2\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)

\(=4+\dfrac{2}{xy}\)

\(\ge4+\dfrac{2}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}\ge4+\dfrac{2}{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2}=6\)

- Vậy \(MinA=6\), đạt tại \(x=y=1\)