Question

cho x,y là số thực dương thỏa mãn lnx+lny≥ ln(x²+y).Tìm giá trị nhỏ nhất của P=x+y

A.P=6 B.P=2\(\sqrt{2}\) +3 C.P=2+3\(\sqrt{2}\) D.P=\(\sqrt{17} +\sqrt{3}\)

Answer 1

Lời giải:

Từ điều kiện đb \(\ln x+\ln y\geq \ln (x^2+y)\Leftrightarrow \ln (xy)\geq \ln (x^2+y)\)

\(\Leftrightarrow xy\geq x^2+y\Leftrightarrow y(x-1)\geq x^2\)

\(\bullet\)Nếu \(x\geq 1\Rightarrow y\geq \frac{x^2}{x-1}\)

Khi đó \(P=x+y\geq x+\frac{x^2}{x-1}=2x+1+\frac{1}{x-1}=2(x-1)+\frac{1}{x-1}+3\)

Áp dụng định lý AM-GM:

\(P\geq 2\sqrt{2(x-1).\frac{1}{x-1}}+3=2\sqrt{2}+3\) hay \(P_{\min}=2\sqrt{2}+3\)

\(\bullet \)Nếu \(x<1\Rightarrow \ln x<0\) kéo theo \(\ln x+\ln y<\ln y\)

Mà \(\ln(x^2+y)\geq \ln (0+y)=\ln y\) nên \(\ln x+\ln y<\ln (x^2+y)\) (không thỏa mãn đkđb) (loại)

Vậy \(P_{\min}=2\sqrt{2}+3\)

Đáp án B