Question

Cho x la nghiệm của pt: x² + 3x + 1 =0

tính giá trị của biểu thức:

B= (\(x+\frac{1}{x}\))² + \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2+\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)^2+....+\left(x^6+\frac{1}{x^6}\right)^2\)

Answer 1

Do \(x=0\) không phải nghiệm

\(x^2+3x+1=0\Leftrightarrow x+3+\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=-3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=9\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=7\)

Đặt \(x_n=x^n+\frac{1}{x^n}\Rightarrow x_1=-3;x_2=7\)

\(x_1x_n=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)=x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}+x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}=x_{n+1}+x_{n-1}\)

\(\Rightarrow x_{n+1}=x_1x_n-x_{n-1}=-3x_n-x_{n-1}\)

Cho \(n=2\Rightarrow x_3=x^3+\frac{1}{x^3}=-3.x_2-x_1=-18\)

\(n=3\Rightarrow x_4=x^4+\frac{1}{x^4}=-3x_3-x_2=47\)

\(n=4\Rightarrow x_5=x^5+\frac{1}{x^5}=-3x_4-x_3=-123\)

\(n=5\Rightarrow x_6=x^6+\frac{1}{x^6}=-3x_5-x_4=322\)

Thay vào và tính, kết quả rất to