Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R) sao cho hai cạnh AB và CD kéo dài cắt nhau tại
M. Gọi I là giao điểm của AC và BD.
1. Chứng minh rằng MA. MB = MC. MD và IA. IC = IB. ID
2. Kẻ cát tuyến MEF đi qua O (E nằm giữa M, F). Chứng minh: MA. MB = ME. MF = OM2 – R2.
3. Kẻ cát tuyến IPQ đi qua O. Chứng minh: IA. IC = IP. IQ = R2 – OI2.
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho OM = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến MCD đến đường tròn (O) (C nằm giữa M và D).
a/ Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
b/ Chứng minh MC. MD = 3R2
c/ OM cắt (O) tại F sao cho O nằm giữa M và F. Chứng minh tam giác AFB đều.
d/ Gọi E là giao điểm của FC và đường tròn (I). Xác định vị trí cát tuyến của MCD để SFBE đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó theo R.
cho điểm M nằm ngoài (O), kẻ tiếp tuyến MA,MC với (O) (A,C là các tiếp điểm). Một cát tuyến MBD bất kỳ nối (O) (MBD không qua O, MB<MD, tia MB nằm giữa hai tia MO và MA)
b,chứng minh AB.CD=AD.BC
c,gọi H là giao điểm MO và AC, BH cắt (O) tại K.Chứng minh rằng AB//DK
từ điểm M ở ngoài đường tròn(O) , VẼ 2 tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến MCD. gọi I là giao điểm của AB , CD . CHỨNG MINH RẰNG IC/ID=MC/MD
Cho (O,R), M nằm ngoài (O). Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD qua O, AB cắt CD tại H.
a) Chứng minh MA^2=MD.MC
b) Chứng minh MH.MO=MC.MD và C là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
c) Giả sử điểm M thay đổi ở ngoài (O) nhưng luôn thuộc đường thẳng d cố định. Chứng minh điểm H luôn thuộc 1 đường tròn cố định
Xét đường thẳng (d) cổ định ở ngoài (0;R) (khoảng cách từ 0 đến (d) không nhỏ hơn R2). Từ một điểm M nằm trên đường thắng (d) ta dựng các tiếp tuyến MA, MB đến (O:R) ( A,B là các tiếp điểm) và dựng cát tuyên MCD (tia MC nằm giữa hai tia MO, MA và MC < MD). Gọi E là trung điểm của CD, H là giao điểm của AB và MO. a, Chứng minh: 5 điểm M,A,E,O,B cùng nằm trên một đường tròn. b, Chứng minh: MC.MD= MA² = MO² –R² . c. Chứng minh: Các tiếp tuyến tại C,D của đường tròn (O;R) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thắng AB. d. Chứng minh: Đường thắng AB luôn đi qua một điểm cố định. e, Chứng minh: Một đường thắng đi qua O vuông góc với MO cắt các tia MA, MB lần lượt tại PQ. Tìm GTNN của SMPO. Tìm vị trí điểm M để AB nhỏ nhất.
Bài 4: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O, R), kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm) và cát tuyến MNP với (O) (MN <MP, MN nằm trong góc OMA).
a) Chứng minh: Tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: MA=MN.MP
c) Gọi I là giao điểm của MO và AB. Chứng minh: Tích OI.OM không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
d) Kẻ ND vuông góc với OA tại D; ND cắt AP, AB theo thứ tự tại E và F. Chứng minh: F là trung điểm của NE.
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn(O,R) với OM>2R, từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn (O) ( A và B là hai tiếp điểm), vẽ cát tuyến MEF của đường tròn (O) (E nằm giữa M và F). Gọi H là giao điểm của MO và AB.
a. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn, xác định tâm của đường tròn đó.
b.Chứng minh MA2 = ME.MF và MH.MO = ME.MF
c. lấy điểm P thuộc cung AB nhỏ. Vẽ tiếp tuyến P cắt MA, MB lần lượt tại K và D, vẽ OK, OD lần lượt cắt AB tại Q và N. Chứng minh KN, DQ, OP đồng quy .
Từ 1 điểm M nằm ngoài đường tròn tâm ( O:R ) sao cho MO < 2R kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( A,B thuộc (O) ). Gọi H là giao điểm của MO và AB
a) Chứng mình H là trung điểm của AB ; HA.HB = HM.HO
b ) Kẻ cát tuyến MDC của (O) ( tia MC ở trong góc OMB; D,C thuộc (O), MD, MC ) Đường thẳng qua H và vuông góc với OA cắt AC tại E. Chứng minh tứ giác BHEC nội tiếp
c ) Qua H vẽ dây DK của (O). Chứng minh HO vuông góc CK
d ) Gọi I là điểm đối xứng với D qua H. Chứng minh 3 điểm E,I,B thẳng hàng.
Bài 5. Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A và B là tiếp điểm) và cát tuyến MNP (N nằm giữa M và P) với đường tròn . Gọi E là trung điểm của NP a) Chứng minh rằng năm điểm M, A, K, O, B cùng nằm trên một đường tròn, từ đó chứng minh KM là tia phân giác của AKB b) Gọi Q là giao điểm thứ hai của đường thẳng BK với đường tròn (O).Chứng minh AQ//NP c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh rằng: MH.MO= MB2 ; MH.MO= MN.MP d) Chứng minh tứ giác NHOP nội tiếp e) Gọi E là giao điểm của AB và KO, F là giao điểm của AB và NP. CMR: AB2=4 HE.HF và tứ giác KEMH nội tiếp f) Chứng minh: EN, EP là các tiếp tuyến của (O)