Question

Cho tứ giác ABCD. Gọi A₁, B₁, C₁, D₁ lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB. CC₁ cắt BB₁ và DD₁ tại P và Q. AA₁ cắt DD₁ Và BB₁ tại M và N. CMR: S_MNPQ = SAMD₁ + SBNA₁ +SCPB₁ +SDQC₁

Answer 1

Vì \(A_1,B_1,C_1,D_1\) là trung điểm của BC , CD , DA ,AB

\(\Rightarrow S_{ADD_1}=\frac{1}{2}S_{ADB}\) , \(S_{BB_1C}=\frac{1}{2}S_{BDC}\)

\(\Rightarrow S_{ADD_1}+S_{BB_1C}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)

Tương tự ta có : \(S_{ABA_1}+S_{BB_1C}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=S_{ADD_1}+S_{BB_1C}+S_{ABA_1}+S_{CC_1D}\)

Mà :

\(S_{ABCD}=S_{AMD_1}+S_{AMQC_1}+S_{C_1QD}+S_{DQPB_1}+S_{CPB_1+S_{PCA_1N}+S_{BNA_1}+S_{BNMD_1}+S_{MNPQ}}\)

\(S_{ADD_1}+S_{BB_1C}+S_{ABA_1}+S_{CC_1D}=S_{AD_1M}+S_{AMQC_1}+S_{DQC_1}+S_{DQC_1}\)

Answer 2

Vì \(A_1,B_1,C_1,D_1\) là trung điểm của BC,CD,DA,AB

\(\Rightarrow S_{ADD_1}=\frac{1}{2}S_{ADB},S_{BB_1C}=\frac{1}{2}S_{BDC}\)

\(\Rightarrow S_{ADD_1}+S_{BB_1C}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)

Tương tự: \(S_{ABA_1}+S_{CC_1D}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=S_{ADD_1}+S_{BB_1C}+S_{ABA_1}+S_{CC_1D}\)

Mà: \(S_{ABCD}=S_{AMD_1}+S_{AMQC_1}+S_{C_1QD}+S_{DQPB_1}+S_{CPB_1}+S_{PCA_1N}+S_{BNA_1}+S_{BNMD_1}+S_{MNPQ}\)\(S_{ADD_1}+S_{BB_1C}+S_{ABA_1}+S_{CC_1D}=S_{AD_1M}+S_{AMQC_1}+S_{DQC_1}+S_{DQC_1}+S_{DQPB_1}+S_{B_1CP}+S_{B_1CP}+S_{CPNA_1}+S_{BNA_1}+S_{BNA_1}+S_{BD_1MN}+S_{AD_1M}\)

\(\Rightarrow S_{MNPQ}=S_{AMD_1}+S_{BNA_1}+S_{CPB_1}+S_{DQC_1}\left(đpcm\right)\)