Question

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và điểm M di động trên đường thẳng BC. Tính độ dài nhỏ nhất của vectơ u= MA +MB+ MC.

Answer 1

Gọi G là trọng tâm tam giác

\(\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|\)

\(=\left|3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|_{min}\) khi \(MG_{min}\)

\(\Rightarrow M\) là chân đường vuông góc hạ từ G xuống BC hay M là trung điểm BC

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|_{min}=3MG=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)