a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔEDF vuông tại D, ta được:
\(EF^2=DF^2+DE^2\)
\(\Leftrightarrow DF^2=13^2-9^2=88\)
hay \(DF=2\sqrt{22}\left(cm\right)\)
Xét ΔEDF vuông tại D có
\(\sin\widehat{E}=\dfrac{DF}{EF}=\dfrac{2\sqrt{22}}{13}\)
nên \(\widehat{E}\simeq46^0\)
\(\Leftrightarrow F=44^0\)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDFE vuông tại D có DI là đường cao ứng với cạnh huyền EF, ta được:
\(DI\cdot EF=DF\cdot DE\)
\(\Leftrightarrow DI=\dfrac{18\sqrt{22}}{13}\left(cm\right)\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔDIF vuông tại I, ta được:
\(DF^2=DI^2+IF^2\)
\(\Leftrightarrow IF^2=DF^2-DI^2=\left(2\sqrt{22}\right)^2-\left(\dfrac{18\sqrt{22}}{13}\right)^2=\dfrac{7744}{169}\)
hay \(IF=\dfrac{88}{13}\left(cm\right)\)
Ta có: IE+IF=EF(I nằm giữa E và F)
nên \(IE=EF-IF=13-\dfrac{88}{13}=\dfrac{81}{13}\left(cm\right)\)
c) Xét tứ giác DMIN có
\(\widehat{NDM}=90^0\)
\(\widehat{IND}=90^0\)
\(\widehat{IMD}=90^0\)
Do đó: DMIN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Suy ra: DI=MN(Hai đường chéo của hình chữ nhật DMIN)
mà \(DI=\dfrac{18\sqrt{22}}{13}\left(cm\right)\)
nên \(MN=\dfrac{18\sqrt{22}}{13}\left(cm\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDIE vuông tại I có IM là đường cao ứng với cạnh huyền DE, ta được:
\(DM\cdot DE=DI^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDIF vuông tại I có IN là đường cao ứng với cạnh huyền DF, ta được:
\(DN\cdot DF=DI^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(DM\cdot DE=DN\cdot DF\)