cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Gọi D, E lần lượt là điểm sao cho M là trung điểm PD, N là trung điểm EP.
a, Chứng minh tứ giác AMPN là hình chữ nhật
b, Chứng minh tứ giác APCE là hình thoi
c, Tam giác ABC cần có điều kiện gì để tứ giác APCE là hình vuông
d, Chứng minh AP, BE, CD đồng quy
a: Xét ΔCAB có
N,P lần lượt là trung điểm của CA,CB
=>NP là đường trung bình của ΔCAB
=>NP//AB và \(NP=\dfrac{AB}{2}=AM=MB\)
Xét tứ giác AMPN có
NP//AM
NP=AM
Do đó: AMPN là hình bình hành
Hình bình hành AMPN có \(\widehat{MAN}=90^0\)
nên AMPN là hình chữ nhật
b: ΔABC vuông tại A
mà AP là đường trung tuyến
nên PA=PC=PB
Xét tứ giác APCE có
N là trung điểm chung của AC và PE
=>APCE là hình bình hành
Hình bình hành APCE có PA=PC
nên APCE là hình thoi
c: Để hình thoi APCE trở thành hình vuông thì AP\(\perp\)CP
=>AP\(\perp\)BC tại P
Xét ΔBAC có
AP là đường trung tuyến
AP là đường cao
Do đó: ΔBAC cân tại A
=>AB=AC
d: Ta có: AMPN là hình chữ nhật
=>PM=AN
mà PD=2PM(M là trung điểm của PD)
và AC=2AN(N là trung điểm của AC)
nên PD=AC
Ta có: NP=AM
mà PE=2PN(N là trung điểm của PE)
và AB=2AM(M là trung điểm của AB)
nên PE=AB
Xét tứ giác ABPE có
PE//AB
PE=AB
Do đó: ABPE là hình bình hành
=>AP cắt BE tại trung điểm của mỗi đường(2)
Xét tứ giác ACPD có
AC//PD
AC=PD
Do đó: ACPD là hình bình hành
=>AP cắt CD tại trung điểm của mỗi đường(1)
Từ (1),(2) suy ra AP,BE,CD đồng quy