Question

cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi E, G, F lần lượt là trung điểm AB, BC, AC

a, Tứ giác AEGF là hình j? Vì sao?

b, EI // BF (I ϵ GF) Chứng minh AG, BI, EF đồng quy.

c, Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AGCI là hình vuông

Answer 1

 

a: Xét ΔCAB có

F,G lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>FG là đường trung bình của ΔCAB

=>FG//AB và \(FG=\dfrac{AB}{2}\)

Ta có: \(FG=\dfrac{AB}{2}\)

\(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\)

Do đó: FG=AE=EB 

Xét tứ giác AEGF có

AE//GF

AE=GF

Do đó: AEGF là hình bình hành

Hình bình hành AEGF có \(\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEGF là hình chữ nhật

b: Ta có: GF//AB

=>IF//AB

=>IF//EB

Xét tứ giác BEIF có

BE//IF

BF//IE

Do đó: BEIF là hình bình hành

=>FI=EB

mà EB=FG(=EA)

nên FI=FG

=>F là trung điểm của IG

ta có: BEIF là hình bình hành

=>BI cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: AEGF là hình bình hành

=>AG cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AG,EF,BI đồng quy

c: ΔABC vuông tại A

mà AG là đường trung tuyến

nên AG=GC

Xét tứ giác AGCI có

F là trung điểm chung của AC và GI

=>AGCI là hình bình hành

Hình bình hành AGCI có GA=GC

nên AGCI là hình thoi

Hình thoi AGCI trở thành hình vuông khi \(\widehat{AGC}=90^0\)

=>ΔGAC vuông cân tại G

=>\(\widehat{GCA}=45^0\)

=>\(\widehat{ACB}=45^0\)