Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm cạnh BC. Kẻ ED vuông góc AC tại E, DF vuông góc AB tại F.
a) Chứng minh: AD = EF
b) Lấy G đối xứng với D qua F. Chứng minh: tứ giác ADBG là hình thoi.
c) Gọi K là giao điểm của AG và ED. Chứng minh: AD, BK, CG đồng quy.
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để hình thoi ADBG là hình vuông.
Tự vẽ hình
a) Xét tứ giác AEDF, ta có:
\(\widehat{DFA}=90^0\) ( vì DF vuông góc với AB tại F )
\(\widehat{DEA}=90^0\) ( vì ED vuông góc với AC tại E )
\(\widehat{BAC}=90^0\) ( vì tam giác ABC vuông tại A )
=> AEDF là hình chữ nhật
=> AD = EF ( Hai đường chéo bằng nhau )
b) Vì \(\widehat{DFA}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\left(cmt\right)\)
Mà hai góc trên là hai góc đồng vị
Nên FD // AE
Mà BD = DC ( do D là trung điểm của BC )
=> BF = FA
Ta có:
GF = FD ( do G đối xứng với D qua F )
BF = FA ( cmt )
=> ADBG là hình bình hành (1)
Xét tam giác ABC vuông tại A
Ta có: Đường trung tuyến AD ứng với cạnh huyền BC
=> AD = BC/2
=> AD = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ADBG là hình thoi ( Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau )