cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ vuông góc từ H đến AB và AC. Gọi I là trung điểm BC, K là giao điểm AI và MN
a. C/M \(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}\)
b.\(\dfrac{AB}{AC}=\sqrt[3]{\dfrac{BM}{CN}}\)
d. \(AH^2=AB.AC.sinB.cosB\)
e. \(BM.\sqrt{CH}+CN.\sqrt{BH}=AH.\sqrt{BC}\)
a: Xét tứ giác AMHN có góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ
nên AMHN là hình chữ nhật
=>góc ANM=góc AHM=góc B
Ta có: ΔBAC vuông tại A
mà AI là trung tuyến
nên IA=IC=IB
=>góc IAC=góc ICA
=>góc IAN+góc ANM=90 độ
=>AI vuông góc với MN tại K
Xét ΔAMN vuông tại A có AK là đường cao
nên \(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}\)
b: \(\dfrac{BM}{CN}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{AC}\)
\(=\dfrac{BH^2}{CH^2}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
=>ĐPCM
d \(AB\cdot AC\cdot sinB\cdot cosB\)
\(=AB\cdot AC\cdot\dfrac{AC}{BC}\cdot\dfrac{AB}{BC}=AB^2\cdot\dfrac{AC^2}{BC^2}\)
\(=\dfrac{\left(AH\cdot BC\right)^2}{BC^2}=AH^2\)