Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác , DE vuông góc BC (E thuộc BC). Gọi F là giao điểm cua AB và DE. Chứng minh rằng

a) BDlaf đường trung trực

b) DF=DC

c) AD < DC

d) AE // FC

Answer 1

Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:

Góc ABD=Góc EBD(doBD là phân giác góc B)

góc BAD=góc EAD(=90 độ)

BD chung

suy ra tam giác ABD =tam giác EBD(cạnh huyền góc nhọn)

suy ra AB=EB suy ra B nằm trên đường trung trực AE(1)

vì tam giác ABD =tam giác EBD suy ra ED=AD suy raD thuộc đường trung trực AE(2)

Từ 1 và 2 suy ra BD thuộc đường trung trực AE

b)Xét tam giácADF và tam giác EDC có:

AD=ED

góc ADF=góc EDC

gócA =góc E=90 độ

Suy ra tam giác ADF =tam giác EDC(g.c.g)

suy ra DF=DC

c)tam giác DEC có :DE<DC

mà DA=DE

suy raDA<DC

d)Vì AB=BE và AF=EC suy ra BF=BC suy ra B thuộc đường trung trực FC(1)

Lại có :DF=DC suy ra D thuộc đường trung trựcFC(2)

Từ 1 và 2 suy raBD thuộc đường trung trực  FC

suy raBD vuông góc với FC

Mà BD vuông góc với AE

suy ra AE//FC