a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left(gt\right)\) có:
\(AB^2+AC^2=BC^2\) (định lí Py - ta - go).
=> \(5^2+AC^2=10^2\)
=> \(AC^2=10^2-5^2\)
=> \(AC^2=100-25\)
=> \(AC^2=75\)
=> \(AC=\sqrt{75}\)
=> \(AC=5\sqrt{3}\left(cm\right)\) (vì \(AC>0\)).
b) Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABD\) và \(EBD\) có:
\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^0\left(gt\right)\)
Cạnh BD chung
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (vì \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
=> \(\Delta ABD=\Delta EBD\) (cạnh huyền - góc nhọn).
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AB=EB\\AD=ED\end{matrix}\right.\) (các cạnh tương ứng).
=> \(B\) và \(D\) thuộc đường trung trực của \(AE.\)
=> \(BD\) là đường trung trực của \(AE.\)
=> \(BD\perp AE\) (định nghĩa đường trung trực).
Hay \(AE\perp BD.\)
c) Ta có:
\(\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.10=\frac{10}{2}=5cm.\)
Mà \(AB=5cm\left(gt\right)\)
=> \(AB=\frac{1}{2}BC.\)
Mà \(AB=EB\left(cmt\right)\)
=> \(EB=\frac{1}{2}BC.\)
=> \(E\) là trung điểm của \(BC.\)
=> \(EC=\frac{1}{2}BC\) (tính chất trung điểm).
Mà \(AB=\frac{1}{2}BC\left(cmt\right).\)
=> \(AB=EC\) (1).
+ Xét 2 \(\Delta\) vuông \(AFD\) và \(ECD\) có:
\(\widehat{FAD}=\widehat{CED}=90^0\left(gt\right)\)
\(AD=ED\left(cmt\right)\)
\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\) (vì 2 góc đối đỉnh)
=> \(\Delta AFD=\Delta ECD\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
=> \(AF=EC\) (2 cạnh tương ứng) (2).
Từ (1) và (2) => \(AB=AF.\)
+ Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABC\) và \(AFC\) có:
\(\widehat{BAC}=\widehat{FAC}=90^0\left(gt\right)\)
\(AB=AF\left(cmt\right)\)
Cạnh AC chung
=> \(\Delta ABC=\Delta AFC\) (2 cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau).
Chúc bạn học tốt!
a) Xét ΔABC vuông tại A
=> AB2 + AC2 = BC2 (định lí Pytago)
=> AC2 = BC2 - AB2
=> AC = căn 75 cm
b) +) Xét ΔABD và ΔEBD có:
BAD = BED (= 90o)
BD: chung
ABD = EBD (BD: phân giác ABE)
=> ΔABD = ΔEBD (ch-gn)
+) Gọi gì của AE và BD là H
Xét ΔBHA và ΔBHE có:
BH: chung
HBA = HBE (BH: phân giác ABE)
BA = BE (ΔDBA = ΔDBE)
=> ΔBHA = ΔBHE (c.g.c)
=> BHA = BHE (2 góc tương ứng)
Mà BHA + BHE = 180o (kề bù)
=> BHA = BHE = 90o
=> AE \(\perp\) BD
c) Ta có:
BC = 2AB (10 = 2 . 5)
=> BE + CE = AB + AB
Mà AB = BE => AB = CE
Xét ΔBAD và ΔCED có:
BAD = CED (= 90o)
AB = EC (cmt)
DA = DE
=> ΔBAD = ΔCED (2cgv) (1)
Xét ΔADF và ΔEDC có:
DAF = DEC (= 90o)
DA = DE (ΔBDA = ΔBDE)
ADF = EDC (đối đỉnh)
=> ΔADF = ΔEDC (cgv-gn) (2)
Từ (1) và (2) => ΔDAB = ΔDAF
=> AB = AF (2 cạnh tương ứng)
Xét ΔABC và ΔAFC có:
CAB = CAF (= 90o)
AC: chung
AB = AF (cmt)
=> ΔABC = ΔAFC (2cgv) (đpcm)
=> CB = CF (2 cạnh tương ứng)
d) Ta có:
AB + AF = BF
EB + EC = BC
Mà BA = BE (ΔBDA = ΔBDE) và AF = EC (ΔADF = ΔEDC)
=> BF = BC
Kết hợp với BC = FC (c/m câu)
=> BF = BC = FC
=> ΔFBC đều