Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB). Vẽ đường cao AH(H thuộc BC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH=HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.
a) Chứng minh: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác KPC.
b) Chứng minh CB.CK=CA.CP và tam giác CAK đồng dạng với tam giác CBP.
c) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh : QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.
a: Ta có: AH\(\perp\)BC
KP//AH
Do đó: KP\(\perp\)BC
Xét ΔACB vuông tại A và ΔKCP vuông tại K có
\(\widehat{ACB}\) chung
Do đó: ΔACB~ΔKCP
b: ΔACB~ΔKCP
=>\(\dfrac{CA}{CK}=\dfrac{CB}{CP}\)
=>\(\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CK}{CP}\)
=>\(CA\cdot CP=CK\cdot CB\)
Xét ΔCAK và ΔCBP có
\(\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CK}{CP}\)
\(\widehat{ACK}\) chung
Do đó: ΔCAK~ΔCBP
c: ΔBAP vuông tại A
mà AQ là đường trung tuyến
nên \(AQ=\dfrac{BP}{2}\left(1\right)\)
Ta có: ΔKPB vuông tại K
mà KQ là đường trung tuyến
nên \(KQ=\dfrac{BP}{2}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra QA=QK
=>Q nằm trên đường trung trực của AK(3)
Ta có: HA=HK
=>H nằm trên đường trung trực của AK(4)
Từ (3),(4) suy ra QH là đường trung trực của AK
