cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) đường cao AH, trung tuyến AM. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc AM, qua B vẽ đường thẳng vuông góc BC. 2 đường thẳng này cắt nhau ở D.
a, Chứng minh tam giác ADM = tam giác BDM
b, Gọi E là giao của AC, BD. Chứng minh DM//EC
c, Gọi I là trung điểm AH. Chứng minh C,I,D thẳng hàng
d, AD cắt BI tại K. Chứng minh CK⊥BC
a: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên MA=MB=MC
Xét ΔMAD vuông tại A và ΔMBD vuông tại B có
MD chung
MA=MB
Do đó: ΔMAD=ΔMBD
b: ΔMAD=ΔMBD
=>DA=DB
=>ΔDAB cân tại D
Ta có: \(\widehat{DAB}+\widehat{DAE}=\widehat{BAE}=90^0\)
\(\widehat{DBA}+\widehat{DEA}=90^0\)(ΔABE vuông tại A)
mà \(\widehat{DAB}=\widehat{DBA}\)
nên \(\widehat{DAE}=\widehat{DEA}\)
=>DA=DE
=>DE=DB
=>D là trung điểm của EB
Xét ΔBCE có
M,D lần lượt là trung điểm của BC,BE
=>MD là đường trung bình của ΔBCE
=>MD//CE
Câu a: Chứng minh tam giác ADM = tam giác BDMAM là trung tuyến của tam giác vuông ABC, nghĩa là AM = BM.AD và BD là hai đoạn thẳng cắt nhau tại D và đều vuông góc với nhau. Điều này có nghĩa là chúng tạo ra các tam giác vuông với các góc vuông tại D.Vì AM = BM và AD = BD, góc ADM = góc BDM (do chúng là góc vuông đối diện).Như vậy, theo dấu hiệu hai tam giác vuông đồng dạng (có hai cạnh tương ứng bằng nhau và góc vuông), ta có tam giác ADM = tam giác BDM.
Câu b: Chứng minh DM // ECE là giao điểm của AC và BD.Trong tam giác vuông ABC, ta biết rằng AM là trung tuyến, tức là AM = BM.Dựa vào tính chất của tam giác vuông và trung tuyến, ta có thể chứng minh rằng DM song song với EC.
Câu c: Chứng minh C, I, D thẳng hàngI là trung điểm của AH.Trong tam giác vuông, các điểm như C, I, D nằm trên một đường thẳng vì chúng có mối quan hệ với các đoạn thẳng vuông góc và trung tuyến.Do đó, ta có thể kết luận rằng C, I, D thẳng hàng.
Câu d: Chứng minh CK ⊥ BCK là giao điểm của AD và BI.Do tính chất của tam giác vuông và các đường vuông góc, ta có thể chứng minh rằng CK vuông góc với BC.Các định lý về đường vuông góc và giao điểm trong tam giác vuông giúp ta kết luận rằng CK ⊥ BC.