Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy M là một điểm trên cạnh BC sao cho BM > MC và M khác C. Gọi N và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các cạnh AB và AC.
1) Chứng minh tứ giác ADMN là hình chữ nhật.
2) Trên tia đối của tia NM lấy điểm P sao cho NM = NP. Chứng minh tứ giác APND là hình bình hành.
3) Gọi Q là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng AP; O là giao điểm của đoạn thẳng QM và đoạn thẳng ND. Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng QM và AQN = ADN.
1: Xét tứ giác ADMN có \(\widehat{ADM}=\widehat{ANM}=\widehat{DAN}=90^0\)
nên ADMN là hình chữ nhật
2: Ta có: ADMN là hình chữ nhật
=>AD//MN và AD=MN
Ta có: AD//MN
N\(\in\)MP
Do đó: AD//NP
Ta có: AD=MN
MN=NP
Do đó: AD=NP
Xét tứ giác ADNP có
AD//NP
AD=NP
Do đó: ADNP là hình bình hành
3: Ta có: ADNP là hình bình hành
=>AP//DN
mà MQ\(\perp\)AP
nên MQ\(\perp\)DN tại O
ΔQMP vuông tại Q
mà QN là đường trung tuyến
nên NQ=NM
=>ΔNQM cân tại N
ΔNQM cân tại N
mà NO là đường cao
nên O là trung điểm của QM
Xét ΔDQN và ΔDMN có
NQ=NM
\(\widehat{DNQ}=\widehat{DNM}\)
ND chung
Do đó: ΔDQN=ΔDMN
=>\(\widehat{DQN}=\widehat{DMN}=90^0\)
Xét tứ giác ANDQ có \(\widehat{DAN}=\widehat{DQN}=90^0\)
nên ANDQ là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{AQN}=\widehat{ADN}\)