Ẩn danh

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy M là một điểm trên cạnh BC sao cho BM > MC và M khác C. Gọi N và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các cạnh AB và AC.

1) Chứng minh tứ giác ADMN là hình chữ nhật.

2) Trên tia đối của tia NM lấy điểm P sao cho NM = NP. Chứng minh tứ giác APND là hình bình hành.

3) Gọi Q là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng AP; O là giao điểm của đoạn thẳng QM và đoạn thẳng ND. Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng QM và AQN = ADN.

NT

1: Xét tứ giác ADMN có \(\widehat{ADM}=\widehat{ANM}=\widehat{DAN}=90^0\)

nên ADMN là hình chữ nhật

2: Ta có: ADMN là hình chữ nhật

=>AD//MN và AD=MN

Ta có: AD//MN

N\(\in\)MP

Do đó: AD//NP

Ta có: AD=MN

MN=NP

Do đó: AD=NP

Xét tứ giác ADNP có

AD//NP

AD=NP

Do đó: ADNP là hình bình hành

3: Ta có: ADNP là hình bình hành

=>AP//DN

mà MQ\(\perp\)AP

nên MQ\(\perp\)DN tại O

ΔQMP vuông tại Q

mà QN là đường trung tuyến

nên NQ=NM

=>ΔNQM cân tại N

ΔNQM cân tại N

mà NO là đường cao

nên O là trung điểm của QM

Xét ΔDQN và ΔDMN có

NQ=NM

\(\widehat{DNQ}=\widehat{DNM}\)

ND chung

Do đó: ΔDQN=ΔDMN

=>\(\widehat{DQN}=\widehat{DMN}=90^0\)

Xét tứ giác ANDQ có \(\widehat{DAN}=\widehat{DQN}=90^0\)

nên ANDQ là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{AQN}=\widehat{ADN}\)

Bình luận (0)