Gọi M là trung điểm của CD
=>M là tâm của đường tròn đường kính CD
=>E thuộc (M)
Xét (M) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
Do đó: ΔCED vuông tại E
=>DE\(\perp\)EC tại E
=>DE\(\perp\)AC tại E
Xét ΔABD có
AH là đường cao
AH là đường trung tuyến
Do đó: ΔABD cân tại A
TA có: ΔABD cân tại A
mà AH là đường cao
nên AH là phân giác của góc BAD
=>\(\widehat{BAH}=\widehat{DAH}\)
Xét tứ giác AHDE có
\(\widehat{AHD}+\widehat{AED}=90^0+90^0=180^0\)
=>AHDE là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{DEH}=\widehat{DAH}\)
mà \(\widehat{DAH}=\widehat{BAH}\)
nên \(\widehat{DEH}=\widehat{BAH}\)
mà \(\widehat{BAH}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)
nên \(\widehat{DEH}=\widehat{C}\)
Ta có: ME=MD
=>ΔMED cân tại M
=>\(\widehat{MED}=\widehat{MDE}\)
=>\(\widehat{MED}=\widehat{CDE}\)
\(\widehat{HEM}=\widehat{HED}+\widehat{MED}\)
\(=\widehat{CDE}+\widehat{C}\)
\(=90^0\)
=>HE\(\perp\)EM tại E
Xét (M) có
ME là bán kính
HE\(\perp\)ME tại E
Do đó: HE là tiếp tuyến của (M)