a, Áp dụng định lí Piatago trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có:
\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Rightarrow BC^2=5^2+12^2\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{169}\)
\(\Rightarrow BC=13cm\)
Ta có: \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên:
\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.13=6,5cm\)
b, Xét tứ giác \(ABCD\) có:
\(M\) là trung điểm của \(AD\)
\(M\) là trung điểm của \(BC\)
\(\Rightarrow ABCD\) là HBH
\(\Rightarrow AD=BC\)
c, Giả sử \(AB=AC\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông cân ( Từ đầu \(\Delta ABC\) vuông rồi)
Xét HBH \(ABCD\) có:
\(\widehat{A}=90^0\)
\(\Rightarrow ABCD\) là HCN
Xét hình chữ nhật \(ABCD\) có:
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow ABCD\) là hình vuông.
Để \(ABCD\) là hình vuông thì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) cần thêm điều kiện \(AB=AC\)
a ) Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A (gt) có :
\(BC^2=AB^2+AC^2\)( định lý Py - ta - go )
\(BC^2=5^2+12^2\)
\(BC^2=25+144\)
\(BC^2=169\)
\(\Rightarrow BC=13cm\)( vì BC > 0 )
+ Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC trong tam giác vuông ABC ( gt)
\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC\)( tính chất tam giác vuông cân )
\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}.13\)
\(\Rightarrow AM=6,5\left(cm\right)\)
b ) Vì AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow M\)là trung điểm của BC (1)
+ Vì D đối xứng với A qua M (gt)
\(\Rightarrow M\)là trung điểm của AD (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) 2 dường chéo BC và AD cắt nahu tại trung điểm M của mỗi đường
\(\Rightarrow\)Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành )
Mà \(\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\)Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật ( dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật )
\(\Rightarrow AD=BC\)( tính chất hình chữ nhật )
c ) Theo câu b ta có \(ABCD\)là hình chữ nhật
Để hình chữ nhật \(ABCD\) là hình vuông
\(\Leftrightarrow AB=AC\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\)cân tại A
Mà \(\Delta ABC\)vuông tại A (gt)
\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông cân tại A .
Vậy \(\Delta ABC\)vuông cân tại A thì hình chữ hật ABCD là hình vuông
Chức bạn học tốt !!!