Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4cm AC = 8cm Gọi E là trung điểm của AC và M là trung điểm của BC.
a) Tính EM.
b) Vẽ tia Bx song song với AC sao cho Bx cắt EM tại D. Chứng minh rằng tứ giác ABDE là hình vuông và tính diện tích hình vuông đó. - c) Gọi I là giao điểm của BE và AD. Gọi K là giao điểm của BE với AM. Chứng minh rằng: Tứ giác BDCE là hình bình hành và DC=6.IK.
a: Xét ΔCAB có
E,M lần lượt là trung điểm của CA,CB
=>EM là đường trung bình của ΔCAB
=>EM//AB và \(EM=\dfrac{AB}{2}\)
\(EM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{4}{2}=2\left(cm\right)\)
b: Xét tứ giác ABDE có
DE//AB
BD//AE
Do đó: ABDE là hình bình hành
Hình bình hành ABDE có \(AB=AE\left(=\dfrac{AC}{2}\right)\)
nên ABDE là hình thoi
Hình thoi ABDE có \(\widehat{BAE}=90^0\)
nên ABDE là hình vuông
=>\(S_{ABDE}=AB^2=4^2=16\left(cm^2\right)\)
c: BAED là hình vuông
=>BD//AE và BD=AE
BD//AE
E\(\in\)AC
Do đó: BD//CE
BD=AE
AE=CE
Do đó: BD=CE
Xét tứ giác BDCE có
BD//CE
BD=CE
Do đó: BDCE là hình bình hành
=>BE=CD
ABDE là hình vuông
=>AD cắt BE tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm chung của AD và BE
=>\(BI=\dfrac{1}{2}BE\)
Xét ΔABC có
AM,BE là đường trung tuyến
AM cắt BE tại K
Do đó: K là trọng tâm của ΔABC
=>\(BK=\dfrac{2}{3}BE\)
\(\dfrac{BI}{BK}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BE}{\dfrac{2}{3}BE}=\dfrac{1}{2}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{4}\)
=>\(BI=\dfrac{3}{4}BK\)
BI+IK=BK
=>\(\dfrac{3}{4}BK+IK=BK\)
=>\(IK=\dfrac{1}{4}BK=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot BE=\dfrac{1}{6}BE\)
mà BE=CD
nên \(IK=\dfrac{1}{6}CD\)
=>CD=6IK