Question

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là các giao điểm các đường phân giác của tam giác ABH, ACH; E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chứng minh rằng: a. Tam giác ABE vuông b. IJ vuông góc với AD

Answer 1

Lời giải:
a.

Có: $\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{ABH}$

$\widehat{BAE}=\widehat{BAH}+\widehat{HAE}=\widehat{BAH}+\frac{1}{2}\widehat{HAC}$

$=\widehat{BAH}+\frac{1}{2}(90^0-\widehat{BAH})=\\widehat{BAH}+\frac{1}{2}\widehat{ABH}$ 

$\Rightarrow \widehat{ABE}+\widehat{BAE}=\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{BEA}=180^0-(\widehat{ABE}+\widehat{BAE})=180^0-90^0=90^0$

$\Rightarrow BEA$ là tam giác vuông tại $E$
b.

Từ kết quả phần a suy ra $IE\perp AJ(*)$

Gọi $K$ là giao điểm của $CJ$ và $AI$

Hoàn toàn tương tự phần a, ta suy ra $CKA$ vuông tại $K$

$\Rightarrow JK\perp AI(**)$
Gọi $T$ là giao điểm của $JK$ và $IE$ thì từ $(*)$ và $(**)$ suy ra $T$ là trực tâm tam giác $IAJ$

$\Rightarrow AT\perp IJ(***)$

Mặt khác:
$CK$ là phân giác $\widehat{C}$

$BE$ là phân giác $\widehat{B}$

$CK, BE$ giao nhau tại $T$ nên $T$ là giao các đường phân giác của tam giác $ABC$

$\Rightarrow AT$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow AT\equiv AD$

$\Rightarrow A,T,D$ thẳng hàng $(****)$

Từ $(***)$ và $(****)$ suy ra $AD\perp IJ$ (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ:

Answer 3

a: Ta có: J là tâm đường tròn nội tiếp ΔAHC

=>AJ là phân giác của góc HAC

=>\(\widehat{CAJ}=\dfrac{\widehat{CAH}}{2}\left(1\right)\)

Ta có: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔAHB

=>BI là phân giác của góc ABH

=>\(\widehat{ABI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{ABC}\left(2\right)\)

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

\(\widehat{HAC}+\widehat{ACB}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{HAC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{CAJ}=\widehat{EBA}\)

mà \(\widehat{CAJ}+\widehat{EAB}=\widehat{CAB}=90^0\)

nên \(\widehat{EBA}+\widehat{EAB}=90^0\)

=>ΔEAB vuông tại E