Question

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có trực tâm H; D,E,F thứ tự là chân đường cao hạ từ A,B,C. AD cắt (O) tại M khác A. ME,MF cắt (O) lần thứ hai tại P,Q. Gọi đường tròn (AH) cắt (O) và OA tại R,S. Chứng minh rằng 3 đường thẳng RS,BP,CQ đồng quy ?

Answer 1

Gọi I,T lần lượt là trung điểm HF, EF. Ta có \(\Delta FHD~\Delta FEC\)(g.g), trung tuyến tương ứng là DI,CT

Suy ra \(\widehat{ECT}=\widehat{HDI}\). Vì DI là đường trung bình \(\Delta HMF\) nên \(\widehat{HDI}=\widehat{HMF}=\widehat{ACQ}\)

Do đó \(\widehat{ECT}=\widehat{ACQ}\), suy ra C,T,Q thẳng hàng. Tương tự B,T,P thẳng hàng.

Mặt khác, theo một kết quả quen thuộc thì tứ giác EHFR điều hòa, suy ra RH là đường đối trung của \(\Delta REF\)

Lại có HS || EF vì cùng vuông góc OA. Suy ra (HF = (SE hay H,S đẳng giác trong \(\widehat{ERF}\)

Suy ra RS là trung tuyến của \(\Delta REF\) hay RS đi qua T.

Vậy RS,BP,CQ cùng đi qua T.