Question

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. AH cắt (O) tại K khác A, KE cắt (O) tại M khác K, BM cắt EF tại N.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Chứng minh BM.BN = BE².
c) Chứng minh N là trung điểm của EF.

Answer 1

a: Xét tứ giác BCEF có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BCEF là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{BMK};\widehat{BAK}\) là các góc nội tiếp chắn cung BK

=>\(\widehat{BMK}=\widehat{BAK}\)

mà \(\widehat{BAK}=\widehat{BCF}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

 và \(\widehat{BCF}=\widehat{BEF}\)(BFEC là tứ giác nội tiếp)

nên \(\widehat{BME}=\widehat{BEN}\)

Xét ΔBME và ΔBEN có

\(\widehat{BME}=\widehat{BEN}\)

\(\widehat{MBE}\) chung

Do đó: ΔBME~ΔBEN

=>\(\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{BE}{BN}\)

=>\(BE^2=BM\cdot BN\)