Question

Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống 3 cạnh lần lượt là D,E,F. Chứng minh \(\overrightarrow{MD}\) + \(\overrightarrow{ME}\) + \(\overrightarrow{MF}\) = \(\dfrac{3}{2}\)\(\overrightarrow{MO}\)

Answer 1

Ta có \(O\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}\left(1\right)\)

\(\Delta ABC\) đều, có điểm \(M\) nằm trong tam giác và \(D,E,F\) là hình chiếu lần lượt xuống \(3\) cạnh

\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\right)\left(2\right)\) (Tự chứng minh tính chất đặc biệt này của tam giác đều)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\right)=3\overrightarrow{MO}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}\left(đpcm\right)\)