Cho tam giác ABC đều, H là trung điểm của BC.Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt tia AH tại O.a. Chứng minh rằng:
a. ∆ABH= ∆ACH
b.Tính AH biếtBC= 8cm
c. Chứng minh OB = OC và OB ⊥AB.
d. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN (M, N không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). MN cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.
a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH:\)
AH chung.
BH = CH (H là trung điểm của BC).
AB = AC (\(\Delta ABC\) đều).
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\left(c-c-c\right).\)
b) Ta có: \(\Delta ABC\) đều (gt).
\(\Rightarrow\) AB = AC = BC = 8cm.
Ta có: BH = CH = \(\dfrac{1}{2}BC\) (H là trung điểm của BC).
Mà BC = \(8cm\left(gt\right).\)
\(\Rightarrow BH=CH=\dfrac{1}{2}.8=4\left(cm\right).\)
Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H:
\(AB^2=AH^2+BH^2\left(Pytago\right).\)
Mà AB = \(8cm\left(cmt\right).\)
BH = 4cm (cmt).
\(\Rightarrow AH=4\sqrt{3}.\)
c) Xét \(\Delta OBC:\)
OH là đường cao \(\left(OH\perp BC\right).\)
OH là đường trung tuyến (H là trung điểm của BC).
\(\Rightarrow\Delta OBC\) là tam giác cân.
\(\Rightarrow OB=OC.\)
a) Xét ΔABHΔABH và ΔACH:ΔACH:
AH chung.
BH = CH (H là trung điểm của BC).
AB = AC (ΔABCΔABC đều).
⇒ΔABH=ΔACH(c−c−c).⇒ΔABH=ΔACH(c−c−c).
b) Ta có: ΔABCΔABC đều (gt).
⇒⇒ AB = AC = BC = 8cm.
Ta có: BH = CH = ⇒BH=CH=12.8=4(cm).⇒BH=CH=12.8=4(cm).
Xét ΔAHBΔAHB vuông tại H:
AB2=AH2+BH2(Pytago).AB2=AH2+BH2(Pytago).
Mà AB = 8cm(cmt).8cm(cmt).
BH = 4cm (cmt).
⇒AH=4√3.⇒AH=43.
c) Xét ΔOBC:ΔOBC:
OH là đường cao (OH⊥BC).(OH⊥BC).
OH là đường trung tuyến (H là trung điểm của BC).
⇒ΔOBC⇒ΔOBC là tam giác cân.