Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O).
a) Chứng minh tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh góc AHK=góc ABC và \(AH^2=AI.AK\)
c) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của Al và AK. Chứng minh rằng: Nếu AH = AM + AN thì ba điểm A, O, H thẳng hàng.
(GIÚP MÌNH LÀM CẢ CÂU C NHA!)
a: Xét tứ giác AHCK có \(\widehat{AHC}+\widehat{AKC}=90^0+90^0=180^0\)
nên AHCK là tứ giác nội tiếp
b:
Xét tứ giác AHBI có \(\widehat{AHB}+\widehat{AIB}=90^0+90^0=180^0\)
nên AHBI là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
\(\widehat{ACK}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CK và dây cung CA
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{ACK}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ACK}=\widehat{AHK}\)(AHCK nội tiếp)
nên \(\widehat{AHK}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AIH}\)
nên \(\widehat{AIH}=\widehat{AHK}\)
Ta có: AIBH nội tiếp
=>\(\widehat{AHI}=\widehat{ABI}\)
mà \(\widehat{ABI}=\widehat{ACB}\)
và \(\widehat{ACB}=\widehat{ACH}=\widehat{AKH}\)(AHCK nội tiếp)
nên \(\widehat{AHI}=\widehat{AKH}\)
Xét ΔAHI và ΔAKH có
\(\widehat{AHI}=\widehat{AKH}\)
\(\widehat{AIH}=\widehat{AHK}\)
Do đó: ΔAHI~ΔAKH
=>\(\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{AI}{AH}\)
=>\(AH^2=AI\cdot AK\)
c: M,N là trung điểm của AI,AK
=>\(AH=AM+AN=\dfrac{1}{2}\left(AI+AK\right)\)
=>\(AH^2=\dfrac{1}{4}\left(AI+AK\right)^2\)
=>\(\dfrac{\left(AI+AK\right)^2}{4}=AI\cdot AK\)
=>AI=AK
Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến tại B và tại C của (O)
Xét (O) có
EB,EC là các tiếp tuyến
Do đó: EB=EC và EO là phân giác của góc BEC
=>OE là đường trung trực của BC
AI=AK và AI\(\perp\)IE và AK\(\perp\)KE nên A thuộc đường phân giác của góc IEK
=>A thuộc OE
=>AO\(\perp\)BC
=>A,O,H thẳng hàng
