Lời giải ở dưới chỉ chứng minh điều kiện cần (mà cái này ai chả biết chứng minh :), mình sẽ chứng minh điều kiện đủ.
Giả sử tồn tại △ABC có 3 đường phân giác trong AD,BE,CF thoả \(S_{DEF}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}\).
Dễ thấy D,E,F lần lượt nằm trên 3 cạnh của tam giác. Đặt \(\left(a,b,c\right)=\left(BC,CA,AB\right)\)
Theo định lí về đường phân giác, ta có: \(\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{b}{a}\Rightarrow\dfrac{FA}{b}=\dfrac{FB}{a}=\dfrac{c}{a+b}\Rightarrow\dfrac{AF}{c}=\dfrac{b}{a+b}\). Tương tự \(\dfrac{AE}{b}=\dfrac{c}{a+c}\)
Ta có: \(S_{AEF}=\dfrac{AF}{c}.\dfrac{AE}{b}.S_{ABC}=\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}S_{ABC}\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}S_{BFD}=\dfrac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}S_{ABC}\\S_{CDE}=\dfrac{ac}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}S_{ABC}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow S_{AEF}+S_{BFD}+S_{CDE}=\sum\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}S_{ABC}=\dfrac{3}{4}S_{ABC}\Rightarrow\sum\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{3}{4}\)
Ta chứng minh rằng, \(\sum\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\dfrac{3}{4}\left(1\right)\), để suy ra \(a=b=c\).
Thật vậy, ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow4\sum bc\left(b+c\right)\ge3\prod\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow4\sum bc\left(b+c\right)\ge3\sum bc\left(b+c\right)+6abc\)
\(\Leftrightarrow\sum bc\left(b+c\right)\ge6abc\). Đến đây dùng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số là xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c, hay △ABC đều.
ΔABC đều
mà AD,BE,CF là các đường phân giác
nên AD,BE,CF là các đường trung tuyến
Xét ΔBAC có \(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BF}{BA}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)
nên DF//AC
=>\(\dfrac{S_{BFD}}{S_{BAC}}=\left(\dfrac{BF}{BA}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
=>\(S_{BFD}=\dfrac{1}{4}\cdot S_{BAC}\)
Xét ΔCBA có \(\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{CE}{CA}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)
nên DE//AB
=>ΔCDE~ΔCBA
=>\(\dfrac{S_{CDE}}{S_{CBA}}=\left(\dfrac{CD}{CB}\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
=>\(S_{CDE}=\dfrac{1}{4}\cdot S_{CAB}\)
Xét ΔABC có \(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)
nên FE//BC
=>ΔAFE~ΔABC
=>\(\dfrac{S_{AFE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AE}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
=>\(S_{AFE}=\dfrac{1}{4}\cdot S_{ABC}\)
Ta có: \(S_{AFE}+S_{BFD}+S_{CDE}+S_{FDE}=S_{ABC}\)
=>\(S_{FDE}=S_{ABC}-\dfrac{1}{4}\cdot S_{ABC}-\dfrac{1}{4}\cdot S_{ABC}-\dfrac{1}{4}\cdot S_{ABC}=\dfrac{1}{4}\cdot S_{ABC}\)