Question

cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. ME là phân giác của tam giác ABM. Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc vs EM cắt AC tại F. 

a, Chứng minh MF là phân giác của tam giác AMC, EF//BC

b, EC cắt AM tại H, cắt MF tại K. Chứng minh EM.KC = MK.EC

Answer 1

a: Ta có: ME là phân giác của góc AMB

=>\(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{AME}\)
TA có: \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\widehat{AME}+\widehat{AMC}=180^0\)

=>\(\widehat{AMC}=180^0-2\cdot\widehat{AME}=2\left(90^0-\widehat{AME}\right)\)

=>\(\widehat{AMC}=2\cdot\widehat{AMF}\)

=>MF là phân giác của góc AMC

XétΔAMB có ME là phân giác

nên \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AM}{MB}\)

mà MB=MC

nên \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AM}{MC}\left(1\right)\)

Xét ΔAMC có MF là phân giác

nên \(\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{AM}{MC}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AF}{FC}\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AF}{FC}\)

nên EF//BC