a)Xét Δ BAI và ΔEAI có:AE=AC(gt)
IAE^=IAB^ (Do AI là phân giác góc BAC^)
AI chung
⇒Δ BAI = ΔEAI (c.g.c)
⇒AIB^=AIE^ (2 góc t.ứng)
⇒AI là tia phân giác của góc BIE^
b)Vì Δ BAI = ΔEAI (CMT)
⇒AB=AE;IB=IE (Các cạnh t.ứng)
⇒A,I ∈ đường trung trực của BE (Do cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng BE)
⇒AI⊥BE
c)Ta có:ABI^+IBF^=180° (Kề bù)
AEI^+IEC^=180° (Kề bù)
mà ABI^=AEI^ (Do Δ BAI = ΔEAI và là 2 góc t.ứng)
⇒IBF^=IEC^
Xét ΔIEC = Δ IBF có:EIC^=BIF^ (Đối đỉnh)
IB=IE (Vi Δ BAI = ΔEAI và là 2 cạnh t.ứng)
IBF^=IEC^ (CMT)
⇒ΔIEC = Δ IBF(g.c.g)
d)Vì ΔIEC = Δ IBF (CMT)
⇒BF=EC;IF=IC (Các cạnh t.ứng)
⇒I ∈ đường trung trực của CF (1)
Ta có:AB+BF=AF
AE+EC=AC
mà AB=AE;BF=EC (CMT)
⇒AF=AC
⇒A ∈ đường trung trực của CF (Do cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng CF) (2)
Từ (1) và (2) ⇒AI là đường trung trực của CF
⇒AI⊥CF
Ta có: AI⊥CF(CMT)
AI ⊥ BE(CMT)
⇒BE//CF
e)Vì AI là đường phân giác của △ABC
⇒\(\dfrac{BI}{IC}\)=\(\dfrac{AB}{AC}\)(Theo t/c đường p/g)
⇒BI.AC=AB.IC
mà AC>AB (gt)
⇒IB<IC (đpcm)