Cho tam giác ABC , AB> AC ngoại tiếp đường tròn (I ) và nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (I ) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) tại K (K khác A).
a) Chứng minh HD là phân giác của góc BHC .
b) Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng.
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O), (O) tiếp xúc với BC,CA,AB thứ tự tại D,E,F. Một điểm P di động trên đường tròn (O), gọi (PBF) cắt (PCE) tại K khác P. Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với PK qua phân giác của góc EPF đi qua điểm cố định.
Cho hình bình hành ABCD với B A D ^ < 90 ∘ .
Đường phân giác của góc B C D ^ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C.
Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO.
Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.
2). Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác △ C E F .
3). Gọi giao điểm của OC và BD là I, chứng minh rằng I B . B E . E I = I D . D F . F I .
Cho hình bình hành ABCD với B A D ^ < 90 ∘ .
Đường phân giác của góc B C D ^ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C.
Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO.
Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.
2). Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác △ C E F .
3). Gọi giao điểm của OC và BD là I, chứng minh rằng I B . B E . E I = I D . D F . F I .
Bài 4 : ( 3,5 điểm)Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF, Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu góc BAC = 60o, AH = 4 cm.
c) AH giao BC tại D. Chứng minh FH là tia phân giác của góc DFE
d) Chứng minh 2 tiếp tuyến của (O) tại E, F và AH đồng quy tại 1 điểm
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB<AC .Đường phân giác của góc B A C ^ cắt (O) tại điểm D khác A
Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.
Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khácA
2). Chứng minh rằng È vuông góc với AC
Cho tam giác ABC có D là chân đường phân giác trong, D thuộc BC. Đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt phân giác ngoài tại đỉnh A ở I. Vẽ đường tròn (I;ID) cắt AB,AC lần lượt tại E,F. Gọi G là tâm ngoại tiếp tam giác AEF, K là giao điểm của đường đối trung xuất phát từ A của tam giác AEF với (AEF). Chứng minh rằng đường thẳng KG luôn đi qua điểm cố định khi A thay đổi trên cung lớn BC của (ABC).
Bài 4 : ( 3,5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) (với AB < AC). BE và CF là 2 đường cao của tam giác cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác BEFC và AEHF là tứ giác nội tiếp
b) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại S và EF cắt đường tròn (O) tại M và N (M nằm giữa S và E). Chứng minh SM. SN = SE. SF
c) Tia CE cắt đường tròn (O) tại K, vẽ dây KI song song với EF.
Chứng minh H, K đối xứng nhau qua AB
d) Chứng minh 3 điểm H, F, I thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M,N lần lượt là tiếp điểm của (I) với AC,AB. Đường trung bình song song với BC của tam giác ABC cắt (O) tại hai điểm P,Q. Chứng minh rằng M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn.
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB<AC. Đường phân giác của góc B A C ^ cắt (O) tại điểm D khác A
Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.
Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khácA
1) Chứng minh rằng tam giác ĐM và tam giác BCF đồng dạng.