Question

Cho số thực dương a, b, c. CMR: \(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}\)

Answer 1

Đề bài sai, ví dụ với \(a=b=c=2\) thì vế trái bằng 2, vế phải bằng 4

Answer 2

Chú ý đến đẳng thức:

\(a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Từ đó ta sẽ dễ dàng chứng minh được bài này:

\(VT=\dfrac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{c^4}{c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)