Question

Cho (P):y=x² và đường thẳng d:y=mx+3. Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm A,B phân biệt sao cho độ dài AB ngắn nhất

Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2-mx-3=0\)

\(ac< 0\Rightarrow\) d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt dó hoành độ trái dấu

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=m\\x_Ax_B=-3\end{matrix}\right.\)

\(AB^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2\)

\(AB^2=\left(x_A-x_B\right)^2+m^2\left(x_A-x_B\right)^2\) (thay \(y_A=mx_A+3\) và \(y_B\) vào)

\(AB^2=\left(1+m^2\right)\left(x_A-x_B\right)^2\)

\(AB^2=\left(1+m^2\right)\left[\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B\right]\)

\(AB^2=\left(1+m^2\right)\left(m^2+12\right)\)

\(AB^2=m^4+13m^2+12\ge12\) (do \(m^2\ge0\))

\(\Rightarrow AB_{min}=2\sqrt{3}\) khi \(m=0\)