Question

Cho pt: \(x^2-2mx-4m-11=0\) (x là ẩn, m là tham số)

a) Giải PT khi m= 1

b) Chứng tỏ pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

c) Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1\), \(x_2\) thỏa mãn \(\frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_1-1}=-5\)

Answer 1

b/ \(\Delta'=m^2+4m+11=\left(m+2\right)^2+7>0\) \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

c/ Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-4m-11\end{matrix}\right.\)

\(\frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_1-1}=-5\Leftrightarrow\frac{x_1\left(x_1-1\right)+x_2\left(x_2-1\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=-5\)

\(\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=-5\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=-5\)

\(\Leftrightarrow\frac{4m^2+8m+22-2m}{-4m-11-2m+1}=-5\Leftrightarrow4m^2+6m+22=30m+50\)

\(\Leftrightarrow4m^2-24m-28=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=7\end{matrix}\right.\)