Gọi \(x_1,x_2\) là độ dài cạnh góc vuông của tam giác trên.
Áp dụng d/l Pytago, ta có : \(x_1^2+x_2^2=17\) \(\left(2\right)\)
\(x^2-\left(m+1\right)x+m=0\) \(\left(1\right)\)
Theo Vi - ét, ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)
Từ \(\left(2\right)\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=17\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-2m-17=0\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-2m-17=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-16=0\)
\(\Leftrightarrow m=\sqrt{16}\)
\(\Leftrightarrow m=\pm4\)
cho PT:x^2-(m+1)x+m=0 (1)
-ta có:\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4m=m^2+2m+1-4m=\left(m-1\right)^2\ge0\) với mọi m
vậy với mọi m PT (1) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)
theo vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)
vì \(x_1x_2\) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là 17 nên \(x_1>0,x_2>0\) \(\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m+1>0\\\Rightarrow m>0vàx_1^2+x_2^2=17^2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m>2\end{matrix}\right.\)
ta có: \(x_1^2+x_2^2=17^2\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=289\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-2m=289\)
\(\Leftrightarrow m^2=288\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\sqrt{288\left(TM\right)}\\m_2=-\sqrt{288\left(KTM\right)}\end{matrix}\right.\)
vậy\(m=\sqrt{288}\)