a/ Để pt có 2 nghiệm pb trái dấu
\(\Leftrightarrow ac< 0\Rightarrow m^2-2< 0\Rightarrow-\sqrt{2}< m< 2\)
b/ \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2+2=2m+3>0\Rightarrow m>-\frac{3}{2}\)
Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2-2\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2+x_1x_2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=2\)
\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-m^2+2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(3m+2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\left(l\right)\\m=-\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
c/ Từ hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}m=\frac{x_1+x_2-2}{2}\\m^2=x_1x_2+2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1x_2+2=\frac{1}{4}\left(x_1+x_2-2\right)^2\)
Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m
Bạn có thể tự rút gọn thêm nếu thích
a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu <=> a.c < 0
<=> \(m^2-2\) < 0
<=> \(m^2< 2\)
<=> \(-\sqrt{2}< m< \sqrt{2}\)
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: \(\Delta\ge0\)
<=>\(\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m^2-2\right)\ge0\)
<=> \(4\left(m^2+2m+1\right)-4m^2+8\ge0\)
<=> \(4m^2+8m+4-4m^2+8\ge0\)
<=> \(8m+12\ge0\)
<=> \(m\ge\frac{-3}{2}\)
Lại có: \(x_1^2+x_2^2+x_1.x_2=2\)
<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1.x_2=2\) (1)
Áp dụng hệ thức Vi -ét có:
\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2\left(m+1\right)=2m+2\\P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=m^2-2\end{matrix}\right.\)
(1) <=> \(\left(2m+2\right)^2-m^2+2=2\)
<=> \(4m^2+8m+4-m^2+2-2=0\)
<=> \(3m^2+8m+4=0\)
\(\Delta=4^2-12=4>0\)
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt
=> \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{a}=\frac{-4-2}{3}=2\) (loại)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{a}=\frac{-4+2}{3}=\frac{-2}{3}\) (thỏa mãn)
c) phương trình có hai nghiệm
<=> \(m\ge\frac{-3}{2}\) (hệ thức Vi ét)
Từ phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-2=0\) Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=2m+2\left(1\right)\\x_1.x_2=m^2-2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
(1) <=> \(2m=x_1+x_2-2\Leftrightarrow m=\frac{x_1+x_2-2}{2}\)
Thay vào (2) được: \(x_1.x_2=\left(\frac{x_1+x_2-2}{2}\right)^2-2\)
Vậy hệ thức liên hệ giữa nghiệm của phương trình không phụ thuộc m là:
\(x_1.x_2=\left(\frac{x_1+x_2-2}{2}\right)^2-2\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2+2m+1-m^2+2\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=2m+3\)
a)Để pt có 2 No phân biệt trái dấu
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.c< 0\\\Delta'>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1.\left(m^2-2\right)< 0\\2m+3>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{2}< m< \sqrt{2}\\m>\frac{-3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}< m< \sqrt{2}\)
b) để phương trình có 2 No phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta'>0 \)
\(\Leftrightarrow m>\frac{-3}{2}\)
Theo định lí Vi-et
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\left(1\right)\\x_1.x_2=m^2-2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Và \(x_1^2+x_2^2+x_1.x_2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1.x_2=2\)(3)
Thay (1)và (2) vào (3)
\(\left(3\right)\Rightarrow\left(2m+2\right)^2-m^2+2=2\)
\(\Leftrightarrow m=\left\{{}\begin{matrix}-2\left(l\right)\\0\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
