Question

Cho phương trình: \(\left(m+1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-2=0\) 

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm còn lại

c) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm \(x_1\) ; \(x_2\) thỏa mãn hệ thức \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{7}{4}\)

d) Tìm giá trị nhỏ nhất ủa biểu thức A= \(2x_1^2+2x_2^2+x_1x_2\)

 

Answer 1

a) Nếu m = -1 thì : \(4x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}\) => pt có một nghiệm

Nếu \(m\ne-1\) , xét \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-2\right)=m^2-2m+1-\left(m^2-m-2\right)=-m+3\)

Để pt có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\) , tức là \(3-m>0\Leftrightarrow m< 3\)

Vậy để pt có hai nghiệm phân biệt thì \(\begin{cases}m< 3\\m\ne-1\end{cases}\)

b) Thay x = 2 vào pt đã cho  , tìm được m = -6

Suy ra pt : \(-5x^2+14x-8=0\Leftrightarrow\left(5x-4\right)\left(x-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2\\x=\frac{4}{5}\end{array}\right.\)

Vậy nghiệm còn lại là x = 4/5

Answer 2

c) Áp dụng hệ thức Vi-et , ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=m-2\end{cases}\)

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{7}{4}\Leftrightarrow4\left(x_1+x_2\right)=7x_1.x_2\)

\(\Rightarrow4.\left(2m-2\right)=7.\left(m-2\right)\Leftrightarrow8m-8=7m-14\Leftrightarrow m=-6\)

d) Ta có : \(A=2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1.x_2=2\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1.x_2=8\left(m-1\right)^2-3\left(m-2\right)\)

\(=8m^2-19m+14=8\left(m-\frac{19}{16}\right)^2+\frac{87}{32}\ge\frac{87}{32}\)

=> Min A = 87/32 <=> m = 19/16