Question

Cho phương trình: \(2x^2+3mx-\sqrt{2}=0\) (m là tham số) có hai nghiệm \(x_1\)và \(x_2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(\frac{1+x_1^2}{x_1}-\frac{1+x_2^2}{x_2}\right)^2\).

Answer 1

\(ac< 0\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{3m}{2}\\x_1x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(M=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_1-x_2-\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}\right)^2\)

\(=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_1-x_2\right)^2\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right)^2\)

\(=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(x_1-x_2\right)^2\)

\(=\left(4+2\sqrt{2}\right)\left(x_1-x_2\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{M}{4+2\sqrt{2}}=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(=\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}\ge2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow M\ge2\sqrt{2}\left(4+2\sqrt{2}\right)=8+8\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=0\)