Question

Cho (O;R) và hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của CO lấy điểm E, EA cắt (O) ở M. Tiếp tiếp của (O) ở M cắt CD tại F, BM cắt CD ở T. Chứng minh:

a. FT.MA= MT.OA

b. EF = FM = FT

c. Biết FM = R. Tính TA.EM theo R.

Answer 1

lời giải vắn tắt:

a) \(\widehat{AMB}\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn => \(\widehat{AMB}=90^o\)

=>\(\widehat{OMA}+\widehat{OMT}=\widehat{AMB}=90^o\)

MF là tiếp tuyến của (O)=> \(\widehat{OMF}=90^o\rightarrow\widehat{OMT}+\widehat{TMF}=\widehat{OMF}=90^o\)

=> \(\widehat{OMA}=\widehat{TMF}\)(1)

\(\Delta MAB\)~\(\Delta OTB\)(g.g)(tự cm)=>\(\widehat{OAM}=\widehat{OTB}\)

mà \(\widehat{OCB}=\widehat{MTF}\)(đối đỉnh) =>\(\widehat{OAM}=\widehat{MTF}\)(2)

từ (1) và (2)=> \(\Delta OMA\)~\(\Delta FMT\)(g.g)\(\rightarrow\frac{MA}{MT}=\frac{OA}{FT}\rightarrow MA.FT=OA.MT\)

b)\(\Delta OMA\)~\(\Delta FMT\)(cmt ) mà \(\Delta OMA\)cân ở O=> \(\Delta FMT\)cân ở F

=> FM=FT

mà \(\Delta TME\) vuông ở M => ..... FM=FE

c) ta cm được TA=TB

lại có:\(\Delta MTE\)~\(\Delta OTB\)(g.g) \(\rightarrow\frac{ME}{OB}=\frac{TE}{TB}\)\(\rightarrow ME.TB=OB.TE\)

\(\rightarrow ME.TA=R.2R=2R^2\)(TE=2FM=2R)