Cho (O;R), dây BC cố định không đi qua O. gọi I là trung điểm của BC ,OI cắt cung nhỏ BC tại A. Lấy điểm E thuộc cung lớn BC. AE cắt BC tại D. Hạ CH vuông góc AE tại H. Đường thẳng BE cắt CH tại M a) Chứng minh rằng: 4 điểm A, H, I, C cùng thuộc 1 đường tròn b) Chứng minh rằng: AD.AE =AB² c) cho BC = R√3. Tính AC d) Tìm vị trí điểm E để diện tích MAC đạt giá trị lớn nhất Giải nhanh giúp mình ạ,mình cần gấp !
a:
Ta có: ΔOBC cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI\(\perp\)BC
Xét tứ giác AICH có \(\widehat{AIC}+\widehat{AHC}=90^0+90^0=180^0\)
nên AICH là tứ giác nội tiếp
=>A,I,C,H cùng thuộc một đường tròn
b:
Ta có: ΔOBC cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác của góc BOC
=>\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)
=>\(sđ\stackrel\frown{BA}=sđ\stackrel\frown{CA}\)
Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
\(\widehat{AEB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB
\(sđ\stackrel\frown{AC}=sđ\stackrel\frown{AB}\)
Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AEB}\)
=>\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)
Xét ΔABD và ΔAEB có
\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)
\(\widehat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD~ΔAEB
=>\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\)
=>\(AD\cdot AE=AB^2\)
c: Xét ΔOBC có \(cosBOC=\dfrac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}\)
\(=\dfrac{R^2+R^2-3R^2}{2\cdot R\cdot R}\)
\(=-\dfrac{1}{2}\)
=>\(\widehat{BOC}=120^0\)
=>\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}=60^0\)
Ta có: I là trung điểm của BC
=>\(BI=CI=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)
ΔOIB vuông tại I
=>\(OI^2+IB^2=OB^2\)
=>\(OI^2=R^2-\left(\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\right)^2=R^2-\dfrac{3R^2}{4}=\dfrac{1}{4}R^2\)
=>\(OI=\dfrac{R}{2}\)
Ta có: OI+IA=OA
=>\(IA=R-\dfrac{R}{2}=\dfrac{R}{2}\)
ΔCIA vuông tại I
=>\(IC^2+IA^2=AC^2\)
=>\(AC^2=\left(\dfrac{R}{2}\right)^2+\left(\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{R^2}{4}+R^2\cdot\dfrac{3}{4}=R^2\)
=>AC=R