Question

Cho (O) đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm OA, qua C vẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt (O) tại 2 điểm M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K (K khác B và M). Gọi H là giao điểm của AK, MN.

a) Cm tứ giác BCHK nội tiếp. 

b) Cm AK × AH = R².

c) Trên tia KN lấy điểm I sao cho KI = KM. Cm NI = BK.

Answer 1

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét (O) có

ΔAKB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAKB vuông tại K

Xét tứ giác BKHC có \(\widehat{BCH}+\widehat{BKH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BKHC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAMB vuông tại M có MC là đường cao

nên \(AC\cdot AB=AM^2\)

Xét ΔACH vuông tại C và ΔAKB vuông tại K có

\(\widehat{CAH}\) chung

Do đó: ΔACH~ΔAKB

=>\(\dfrac{AC}{AK}=\dfrac{AH}{AB}\)

=>\(AC\cdot AB=AH\cdot AK\)

=>\(AH\cdot AK=AM^2\)

Xét ΔMAO có

MC là đường cao

MC là đường trung tuyến

Do đó: ΔMAO cân tại M

=>MA=MO=R

=>\(AC\cdot AB=R^2\)