Cho (O) có dây AB khác đường kính . Qua O kẻ đường vuông góc với AB tại H và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm M.
a) Chứng minh : H là trung điểm của đoạn AB và MB là tiếp tuyến của (O) tại B
b) Vẽ dây AC của (O) sao cho AC//OM . Chứng minh : 3 điểm B,O,D thẳng hàng
c) Gọi D và I lần lượt là giao điểm của MC với (O) và AB. Chứng minh : góc OHC = góc MHD và ID . HC = IC . HD
a: Ta có: ΔOAB cân tại O
mà OH là đường cao
nên H là trung điểm của AB và OH là phân giác của \(\widehat{AOB}\)
ta có: OH là phân giác của góc AOB
=>OM là phân giác của góc AOB
=>\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\)
Xét ΔOAM và ΔOBM có
OA=OB
\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\)
OM chung
Do đó: ΔOAM=ΔOBM
=>\(\widehat{OBM}=\widehat{OAM}\)
mà \(\widehat{OAM}=90^0\)
nên \(\widehat{OBM}=90^0\)
=>MB là tiếp tuyến của (O)
b: Sửa đề: B,O,C thẳng hàng
Ta có: AB\(\perp\)OM
OM//AC
Do đó: AB\(\perp\)AC
=>ΔABC vuông tại A
Vì ΔABC vuông tại A
nên ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC
mà ΔABC nội tiếp (O)
nên O là trung điểm của BC
=>B,O,C thẳng hàng
c: Xét (O) có
ΔDBC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔDBC vuông tại D
=>BD\(\perp\)DC tại D
=>BD\(\perp\)CM tại D
Xét ΔBCM vuông tại B có BD là đường cao
nên \(MD\cdot MC=MB^2\)(1)
Xét ΔBOM vuông tại B có BH là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MB^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(MD\cdot MC=MH\cdot MO\)
=>\(\dfrac{MD}{MO}=\dfrac{MH}{MC}\)
Xét ΔMDH và ΔMOC có
\(\dfrac{MD}{MO}=\dfrac{MH}{MC}\)
\(\widehat{DMH}\) chung
Do đó: ΔMDH đồng dạng với ΔMOC
=>\(\widehat{MHD}=\widehat{MCO}\)
=>\(\widehat{MHD}=\widehat{OCD}\)
mà \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)(ΔOCD cân tại O)
nên \(\widehat{MHD}=\widehat{ODC}\left(3\right)\)
Ta có: \(\widehat{MHD}=\widehat{MCO}\)
mà \(\widehat{MHD}+\widehat{OHD}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{MCO}+\widehat{OHD}=180^0\)
=>\(\widehat{OCD}+\widehat{OHD}=180^0\)
=>OHDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{OHC}=\widehat{ODC}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{OHC}=\widehat{MHD}\)