Cho (O) bán kính OA. Trên bán kính OA lấy điểm I sao cho OI = ⅓OA. Vẽ dây BC vuông góc OA tại điểm I và vẽ dường kính BD. Gọi E là giao điểm của AD và BC.
a) Cm DA là phân giác góc BDC.
b) Cm OE vuông góc AD.
c) Lấy điểm M trên đoạn IB (M khác I và B). Tia AM cắt (O) tại điểm N. Tứ giác MNDE có phải là một tứ giác nội tiếp không? Vì sao?
a: ΔOBC cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác của góc BOC
=>\(sđ\stackrel\frown{BA}=sđ\stackrel\frown{CA}\)
Xét (O) có
\(\widehat{BDA}\) là góc nội tiếp chắn cung BA
\(\widehat{CDA}\) là góc nội tiếp chắn cung CA
\(sđ\stackrel\frown{BA}=sđ\stackrel\frown{CA}\)
Do đó: \(\widehat{BDA}=\widehat{CDA}\)
=>DA là phân giác của góc BDC
b: OI=1/3OA
=>AI=2OI
Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại C
=>BC\(\perp\)CD
=>CD//OI
Xét ΔBCD có OI//CD
nên \(\dfrac{OI}{CD}=\dfrac{BO}{BD}=\dfrac{1}{2}\)
=>CD=2OI
=>CD=AI
Xét ΔECD vuông tại C và ΔEIA vuông tại I có
CD=IA
\(\widehat{EDC}=\widehat{EAI}\)(CD//AI)
Do đó: ΔECD=ΔEIA
=>EA=ED
=>E là trung điểm của AD
ΔOAD cân tại O
mà OE là đường trung tuyến
nên OE\(\perp\)AD
c: Xét (O) có
\(\widehat{AMC}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AC và BN
=>\(\widehat{AMC}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{BN}\right)\)
=>\(\widehat{AMC}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{BA}+sđ\stackrel\frown{BN}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AN}\)
Xét (O) có
\(\widehat{ADN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN
DO đó: \(\widehat{ADN}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AN}\)
=>\(\widehat{AMC}=\widehat{ADN}\)
=>\(\widehat{EDN}=180^0-\widehat{EMN}\)
=>\(\widehat{EDN}+\widehat{EMN}=180^0\)
=>EDNM nội tiếp