(P) cắt SB, SC, SD mới đúng, (P) đã cắt AB tại A rồi cơ mà
Từ A kẻ \(AC'\perp SC\), trong các mặt pẳng (SCD) và (SBC) từ C' lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc SC cắt SD và SB tại D' và B'
Gọi cạnh bên của hình chóp là \(SA=SB=SC=SD=x\Rightarrow SB'=\frac{2x}{3}\)
Áp dụng định lý hàm cos: \(cos\widehat{ASC}=\frac{2x^2-2a^2}{2x^2}\); \(cos\widehat{BSC}=\frac{2x^2-a^2}{2x^2}\)
Trong tam giác vuông SAC':\(SC'=SA.cos\widehat{ASC}=\frac{2x^2-2a^2}{2x}\)
Trong tam giác vuông SB'C': \(SC'=SB'.cos\widehat{BSC}=\frac{2x^2-a^2}{3x}\)
\(\Rightarrow\frac{2x^2-2a^2}{2x}=\frac{2x^2-a^2}{3x}\Rightarrow x=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow SC'=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\frac{SC'}{SC}=\frac{1}{2}\)
Do tính đối xứng của hình chóp đều \(\Rightarrow\frac{SD'}{SD}=\frac{SB'}{SB}=\frac{2}{3}\)
Áp dụng công thức Simsons ta có:
\(V_{S.AB'C'D'}=\frac{1}{4}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left(1+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+2\right)V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}V_{SABCD}=\frac{a^3\sqrt{6}}{18}\)
\(\Rightarrow S_{AB'C'D'}=\frac{3V_{S.AB'C'D'}}{SC'}=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}\)
b/Gọi O là tâm đáy, M là trung điểm BC \(\Rightarrow OM\perp BC\Rightarrow BC\perp\left(SOM\right)\)
\(AD//\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(AD;B'C'\right)=d\left(AD;\left(SBC\right)\right)=2.d\left(O;\left(SBC\right)\right)\)
Từ O kẻ \(OH\perp SM\Rightarrow OH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow OH=d\left(O;\left(SBC\right)\right)\)
\(SO=\frac{SC.\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)
\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OM^2}\Rightarrow OH=\frac{SO.OM}{\sqrt{SO^2+OM^2}}=\frac{a\sqrt{42}}{14}\)
\(\Rightarrow d\left(AD;B'C'\right)=\frac{a\sqrt{42}}{7}\)