Question

Cho hàm số: \(y=f(x)= \begin{cases} {\dfrac{4x-4}{x+1} \ (x>1) \\ 2x-2 \ (x \leq 1)}\end{cases}\)

Tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) trên \(R\) (dùng định nghĩa)

(Xét từng trường hợp x>1, x<1, x=1)

Answer 1

Nhìn thấy đạo hàm bằng định nghĩa là thấy ớn, dài dữ dội

- Khi \(x>1\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{4x-4}{x+1}\)

\(\Delta x=x-x_0\) \(\Rightarrow\Delta y=\frac{4\Delta x+4x_0-4}{x_0+\Delta x+1}-\frac{4x_0-4}{x_0+1}=\frac{8\Delta x}{\left(x_0+1\right)\left(x_0+1+\Delta x\right)}\)

\(\Rightarrow f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{8\Delta x}{\Delta x\left(x_0+1\right)\left(x_0+1+\Delta x\right)}=\frac{8}{\left(x_0+1\right)^2}\)

- Khi \(x< 1\Rightarrow f\left(x\right)=2x-2\)

\(\Delta x\) là số gia của \(x_0< 1\)

\(\Rightarrow\Delta y=2\left(x_0+\Delta x\right)-2-\left(2x_0-2\right)=2\Delta x\)

\(\Rightarrow f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2\)

- Khi \(x\rightarrow1^+\Rightarrow\Delta y\rightarrow2\left(1+\Delta x\right)-2\rightarrow2\Delta x\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f'\left(x\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f'\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\frac{8}{\left(1+1\right)^2}=2\)

\(\Rightarrow f'\left(1\right)=2\)