Question

Cho hàm số y=f( x) xác định và có đạo hàm trên R

(f(1+2x))^2=x- (f(1-2x))^3

Tính f'(1)

Answer 1

\(f^2\left(1+2x\right)=x-f^3\left(1-2x\right)\)

Thay \(x=0\) vào ta được:

\(f^2\left(1\right)=-f^3\left(1\right)\Leftrightarrow f^2\left(1\right)\left[1+f\left(1\right)\right]=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(1\right)=0\\f\left(1\right)=-1\end{matrix}\right.\)

Đạo hàm 2 vế:

\(\Rightarrow4f\left(1+2x\right).f'\left(1+2x\right)=1+6f^2\left(1-2x\right).f'\left(1-2x\right)\)

Thay \(x=0\) vào ta được:

\(4f\left(1\right).f'\left(1\right)=1+6f^2\left(1\right).f'\left(1\right)\)

- Nếu \(f\left(1\right)=0\Rightarrow0=1\) (loại)

- Nếu \(f\left(1\right)=-1\Rightarrow-4f'\left(1\right)=1+6f'\left(1\right)\Rightarrow f'\left(1\right)=-\frac{1}{10}\)