\(lim\left(u_n\right)=lim\left(\frac{n}{n^2+1}\right)=lim\left(\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}}\right)=\frac{0}{1}=0\)
b/
\(-1\le cos\frac{\pi}{n}\le1\Rightarrow-\frac{n}{n^2+1}\le v_n\le\frac{n}{n^2+1}\)
Mà \(lim\left(-\frac{n}{n^2+1}\right)=lim\left(\frac{n}{n^2+1}\right)=0\)
\(\Rightarrow lim\left(v_n\right)=0\)
Cho dãy (Un) thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^{2015}+u_n+1}{u_n^{2014}-u_n+3}\end{matrix}\right.\).
a) CMR: \(u_n>1\) với mọi N và Un là dãy tăng
b) Tính: \(lim\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i^{2014}+2}\)
Cho dãy (Un) thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^{2015}+u_n+1}{u_n^{2014}-u_n+3}\end{matrix}\right.\).
a) CMR: \(u_n>1\) với mọi N và Un là dãy tăng
b) Tính: \(lim\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i^{2014}+2}\)
Cho dãy (un)
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2022\\u^2_n+2021u_n-2023u_{n+1}+1\forall n\ge1\end{matrix}\right.\)
Tính \(\lim\limits\left(\dfrac{1}{u_1+2022}+...+\dfrac{1}{u_n+2022}\right)\)
lim \(\frac{1}{n^2-n+2}\)
Cho dãy số (un) xác định bởi: \(\left\{{}\begin{matrix}u_0=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_k+\frac{1}{n}u_k^2\end{matrix}\right.\), \(\forall k=\overline{0,n-1}\)
a) cmr \(1-\frac{1}{n}< u_n< 1\)
b) tính \(limu_n\)
cho dãy số(un) được xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{n+1}{n}}\left(u_n+3\right)-3\end{matrix}\right.\) ,n=1,2,...Tìm công thức tổng quát của dãy số (un) và tính \(\lim\limits\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}\) .
Cho dãy (un) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=\dfrac{1}{2}\\u_n=\dfrac{\sqrt{u_{n-1}^2+4u_{n-1}}+u_{n-1}}{2}\forall n\ge2\end{matrix}\right.\)
Tinh \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{1}{u_1^2}+\dfrac{1}{u_2^2}+...+\dfrac{1}{u_n^2}\right)\)
Tìm lim\(\frac{10^{15}+3^n}{4^{20}+3^n}\)
cho dãy số (un) xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=\sqrt{3}\\u_{n+1}=\frac{u_n+\sqrt{2}-1}{1+\left(1-\sqrt{2}\right)u_n},n=1,2,3,....\end{matrix}\right.\). Tính u2018